Le centre d'intérêt de mes travaux de recherche concerne l'analyse mathématique et numérique du comportement asymptotique de certains modèles issus de la physique ou de la biologie et faisant intervenir des mécanismes de coagulation-fragmentation.
L'immmersion d'une population de macro-particules dans un bain de monomères donne naissance à des phénomènes d'interaction qui sont modélisés par les équations de Lifshitz-Slyozov qui se traduisent par le couplage d'une équation hyperbolique et d'une équation de conservation de masse. Ce couplage établi en 1916 modélise la cinétique de formation de grains par précipitation dans une solution solide super-saturée. L'étude de son comportement asymtotique en temps est très intriguant. En effet les conjectures sur l'universalité du comportement asymptotique de la densité de répartion en taille des macro-particules ne sont ni analytiquement ni numériquement vérifiées.
Du point de vue analytique on montre l'existence de tout une famille de profils asymptotiques dépendant du choix de la densité de répartition initiale des macro-particules.
Du point de vue numérique, parvenir à capturer le profil correct est un challenge difficile, la diffusion numérique qui est un artéfact inhérent aux schémas numériques existants a tendance à lisser artificiellement le profil des solutions vers un profil unique en temps grand. Ainsi, par de nouvelles notions de stabilité, on établit un nouveau schéma numérique anti-dissipatif de type volumes finis basé sur une technique de « décentrage aval avec contrainte amont » .
Cependant la prise en compte des collisions entre macro-particules par ajout d'un opérateur de coagulation de type Smoluchowski régularise les différents profils observés dans les équations de Lifshitz-Slyozov standard vers un profil quasi-universel.
Ce travail de couplage hyperbolique-parabolique s'inscrit dans l'extension du modèle standard de Lifshitz-Slyozov à la dimension spatiale. En effet en supposant que les macro-particules sont caractérisées à chaque instant par leur taille et leur position et que les monomères suivent une dynamique de diffusion spatiale alors on obtient un modèle couplé hyperbolique-parabolique dont on montre l'existence et l'unicité de solution pour une large classe de données initiales physiquement pertinente.
Le modèle physique d'interaction de particules comme dans les équations de Lifshitz-Slyozov fait abstraction du milieu environnent dans lequel évolue ces particules. Et la question de l'influence du milieu extérieur sur la dynamique d'évolution est plus que d'actualité non seulement du point de vue applicatif mais aussi du point de vue modélisation réaliste.
Dans cette optique de réalisme, on se donne un modèle d'écoulement fluide-particules prenant en compte les effets de friction, de flotabilité et de tranfert d'énergie entre fluide et particules. Les particules suivent un modèle cinétique de type Vlasov-Fokker-Planck avec prise en compte des mécanismes de coagulation-fragmentation modifiant les variations de taille.
La phase dense du fluide suit les équations de Navier-Stokes.
Pour ce couplage fluide-particules avec coagulation-fragmentation on s'est intéressé à l'étude de l'existence et de la stabilité de solutions stationnaires. Grâce à un paramètre de dimensionnement lié au temps de Stockes on identifie par limite hydrodynamique deux régimes d'écoulements connus sous les noms «flowing regime» et «bubling regime» .
L'étude et la compréhension de certains phénomènes biologiques tels les mécanismes de divisions cellulaires ou de polymérisation de protéines présentent des fois des limites expérimentales liées soit à la taille très petite des cellules ou à l'absence de techniques expérimentales. Face à ces limites, le recours à la modélisation mathématique apporte certaines solutions dans cet effort de compréhension.
Dans le cas spécifique d'une population d'individus (cellules) structurées en taille on traite d'une part un problème inverse d'estimation du taux de division cellulaire pour un modèle général d'agrégation-fragmentation et d'autre part on aborde des modèles spécifiques de polymérisation-dépolymérisation de certains agents impliqués dans les maladies neurodégénératives tels le Prion (Proteinaceous infectious only) dans la maladie de Creutzfeldt-Jakob ou les oligomères Aβ 1-40 et Aβ 1-42 dans l'Alzheimer.